Матрицы перехода

Пусть: 1. $\mathcal{A}\mathpunct{:}~~ U \to V$ - линейный оператор над конечномерными пространствами 2. $e = (e_{1}, \dots, e_{n})$ - старый базис в $U$ 3. $f = (f_{1}, \dots, f_{n})$ - старый базис в $V$ 4. $e' = (e_{1}', \dots, e'_{n})$ - новый базис в $U$ 5. $f' = (f_{1}', \dots, f_{n}')$ - новый базис в $V$ 6. $A = [\mathcal{A}]_{ef}$ - матрица в старом базисе 7. $B = [\mathcal{A}]_{e'f'}$ - матрица в новом базисе Тогда связь между матрицей в старом базисе и в новом выражается как: $$A = T_{V}BT_{U}^{-1} \qquad B = T_{V}^{-1}AT_{U}$$ где: - $T_{U}$ - матрица перехода из $e$ в $e'$. По столбцам записаны векторы нового базиса $e'$ в координатах старого базиса $e$ - $T_{V}$ - матрица перехода из ${} f$ в ${} f'$. По столбцам: ${} f'$ в координатах $f$ Важно: матрица перехода переводит координаты из нового базиса в старый, то есть: $$[x]_{e} = T_{U}[x]_{e'} \qquad [x]_{f} = T_{V}[x]_{f'}$$

Докажите дома. Подсказка: используйте, что, если $u \in U$, то $[\mathcal{A}(u)]_{f} = A[u]_{e}$ и соотношения выше.

По сути очевидное следствие из предыдущей, но пусть будет. Пусть: 1. $\mathcal{A}\mathpunct{:}~~ V \to V$ - линейный оператор над конечномерными пространствами 2. $e = (e_{1}, \dots, e_{n})$ - старый базис в ${} V$ 3. $e' = (e_{1}', \dots, e'_{n})$ - новый базис в ${} V$ 4. $A = [\mathcal{A}]_{e}$ - матрица в старом базисе 5. $B = [\mathcal{A}]_{e'}$ - матрица в новом базисе Тогда связь между матрицей в старом базисе и в новом выражается как: $$A = TBT^{-1} \qquad B = T^{-1}AT$$ где: - $T$ - матрица перехода из $e$ в $e'$. По столбцам записаны векторы нового базиса $e'$ в координатах старого базиса $e$ Важно: матрица перехода переводит координаты из нового базиса в старый, то есть: $$[x]_{e} = T[x]_{e'}$$